INDUKSI MATEMATIKA

 𝗜𝗡𝗗𝗨𝗞𝗦𝗜 𝗠𝗔𝗧𝗘𝗠𝗔𝗧𝗜𝗞𝗔

𝗣𝗘𝗡𝗚𝗘𝗥𝗧𝗜𝗔𝗡

𝙈𝙚𝙣𝙪𝙧𝙪𝙩 𝙒𝙞𝙠𝙞𝙥𝙚𝙙𝙞𝙖 Induksi matematika merupakan salah satu kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika.

Induksi matematika bisa juga di artikan sebagai metode untuk membuktikan,bahwa suatu sifat yang didefinisikan pada bilangan asli adalah bernilai benar untuk semua nilai yang lebih besar atau sama dengan sebuah bilangan asli tertentu.

𝗠𝗘𝗧𝗢𝗗𝗘 𝗣𝗘𝗠𝗕𝗨𝗞𝗧𝗜𝗔𝗡  𝗗𝗘𝗡𝗚𝗔𝗡 𝗜𝗡𝗗𝗨𝗞𝗦𝗜 𝗠𝗔𝗧𝗘𝗠𝗔𝗧𝗜𝗞𝗔

 Menurut artikel yang saya baca kita memiliki beberapa metode yang di gunakan untuk membuktikan Induksi Matematika. Ayo simak bacaan di bawah ini yaa:

𝗠𝗘𝗧𝗢𝗗𝗘 𝗣𝗘𝗠𝗕𝗨𝗞𝗧𝗜𝗔𝗡 𝗟𝗔𝗡𝗚𝗦𝗨𝗡𝗚

Pembuktian Langsung dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh definisi atau fakta yang ada untuk meperoleh suatu kesimpulan. Pembuktian langsung merupakan metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Syarat untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Berikut contoh soal dan pembahasan metode pembuktian langsung.

Buktikalah pernyataan berikut ini :

“jika n bilangan ganjil, maka n3 bilangan ganjil”.

Bukti :

Jika n adalah bilangan ganjil, maka dapat dituliskan

n = 2k + 1, dengan k bilangan bulat.

n3 = (2k + 1)3 = 8k3 + 12k2 + 6k + 1 = 2 (4k3 + 6k2 + 3k) + 1 .

Jadi bentuk 2 (4k3 + 6k2 + 3k) + 1 adalah bilangan ganjil Jadi n3 adalah bilangan ganjil.

𝗠𝗘𝗧𝗢𝗗𝗘 𝗣𝗘𝗠𝗕𝗨𝗞𝗧𝗜𝗔𝗡 𝗧𝗜𝗗𝗔𝗞 𝗟𝗔𝗡𝗚𝗦𝗨𝗡𝗚

Pembuktian tidak langsung yang dibahas ada dua cara yaitu kontraposisi dan kontradiksi :

•𝐌𝐞𝐭𝐨𝐝𝐞 𝐏𝐞𝐦𝐛𝐮𝐤𝐭𝐢𝐚𝐧 𝐊𝐨𝐧𝐭𝐫𝐚𝐩𝐨𝐬𝐢𝐬𝐢

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut secara simbolik :

p → q ≡ ~q → ~p

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p

Berikut adalah contoh soal pembuktian kontraposisi.

Buktikanlah pernyataan berikut ini :

p = n3 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Bukti :

Jika n bukan bilangan ganjil, maka n adalah bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, dengan k adalah bilangan asli.

Jika n3 = (2k)3 = 8k3 = 2 (4k3), maka n3 adalah bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR, sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR. Implikasi p → q benar, ini berarti n3 bilangan ganjil maka n adalah bilangan ganjil.

•𝐌𝐞𝐭𝐨𝐝𝐞 𝐏𝐞𝐦𝐛𝐮𝐤𝐭𝐢𝐚𝐧 𝐊𝐨𝐧𝐭𝐫𝐚𝐝𝐢𝐤𝐬𝐢

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta atau teorema yang ada. Jika pengandaian konklusi yang salah, sehingga konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada. Berikut adalah contoh soal dan pembahasan pembuktian kontradiksi.

Buktikanlah pernyataan berikut ini :

“Untuk semua bilangan bulat n, jika n3 ganjil, maka n ganjil”.

Bukti :

q bernilai salah, atau ~q bernilai benar.

Jika n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Misalnya n = 2k dengan k bilangan bulat, maka n3 = (2k)3 atau n3 = 8k3. Ini menunjukkan bahwa n3 = bilangan bulat genap (~p).

Suatu kontradiksi diketahui p benar, sedangkan dari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

•𝐌𝐞𝐭𝐨𝐝𝐞 𝐏𝐞𝐦𝐛𝐮𝐤𝐭𝐢𝐚𝐧 𝐈𝐧𝐝𝐮𝐤𝐬𝐢 𝐌𝐚𝐭𝐞𝐦𝐚𝐭𝐢𝐬

Induksi matematika merupakan pembuktian yang berlaku untuk bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar, maka P(k + 1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n. Berikut soal dan pembahasan pembuktian induksi matematis.

Buktikanlah pernyataan berikut :

“1 + 3 + 5 +  … + (2n – 1) = n², untuk semua bilangan asli n”.

Bukti :

Misalnya P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n^2, P(1) benar, sebab 1 = 1.

Bila P(k) benar, apabila 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1) = k².

Untuk 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2 [k + 1] – 1) =1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k + 1) = [k +1]² = [k +1] [k + 1] = k² + 2k + 1, sehingga P(k + 1) benar.

Bentuk Penerapan Induksi Matematika

Dalam belajar materi induksi matematika kita harus mengetahui juga penerapan dari induksi matematika. Beberapa penerapan induksi matematika yaitu pada penerapan induksi matematika barisan bilangan, penerapan induksi matematika pada keterbagian, dan penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan (ketaksamaan). Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut ini.

𝗣𝗘𝗡𝗘𝗥𝗔𝗣𝗔𝗡 𝗜𝗡𝗗𝗨𝗞𝗦𝗜 𝗠𝗔𝗧𝗘𝗠𝗔𝗧𝗜𝗞𝗔

Untuk n bilangan asli, x ≠ 1, buktikan dengan induksi matematika bahwa xⁿ – 1 habis dibagi (x – 1).

Pembahasan:

Misalkan P(n) = xn – yn .

Untuk membuktikan P(n) = xⁿ – 1 habis dibagi (x  –  1), artinya P(n) dapat dituliskan sebagai kelipatan x – 1.

Oleh karena itu, akan ditunjukkan P(n) = xⁿ – 1 memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

 

Langkah Awal :

Untuk n = 1, sangat jelas bahwa x – 1 = (x – 1) × 1.

Demikian halnya untuk n = 1 diperoleh bahwa x² – 1 = (x – 1)(x + 1). Artinya jelas bahwa P(2) = x² – 1 habis dibagi (x – 1).

 

Langkah Induksi :

Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P(2) benar. Karena P(2) benar, maka P(3) juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi yang diperoleh untuk n pangkatt 3.

• Untuk n = 3, maka x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1 ).
• Untuk n = 4, maka x⁴ – 1= (x – 1)(x³ + x² + x + 1).
• Untuk n = 5, maka x⁵ – 1 = (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1).

Jadi untuk n = k, maka P(k) = x^k – 1 = (x – 1)(x^{k – 1} + 1).

Oleh karena itu, disimpulkan bahwa P(k) = x^k – 1 habis dibagi x – 1. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa P(k – 1) = x^{k – 1} – 1 juga habis dibagi (x – 1).

𝘾𝙊𝙉𝙏𝙊𝙃  𝙎𝙊𝘼𝙇 𝙇𝘼𝙏𝙄𝙃𝘼𝙉 𝙄𝙉𝘿𝙐𝙆𝙎𝙄 𝙈𝘼𝙏𝙀𝙈𝘼𝙏𝙄𝙆𝘼

Contoh soal induksi matematika terdiri dari soal induksi matematika dan pembahasan induksi matematika. Berikut 3 Contoh Soal Induksi Matematika

Buktikan bahwa pernyataan berikut ini adalah salah. Jika n bilangan asli, maka terdapat paling sedikit satu bilangan prima p sedemikian sehingga n < p < n + 3.

Pembahasan Induksi Matematika

Pembuktian secara langsung :

Misalkan n = 19, maka n + 3 = 22

Ternyata tidak berlaku 19 < p < 22 karena tidak ada bilangan prima antara 19 dan 22.

 

Salah satu faktor dari n3 – 1 adalah 1, n bilangan asli.

Pembahasan Induksi Matematika

Pembuktian secara langsung:

n3 – 1 = (n – 1)( n2 + n + 1), di mana n = 1.

Jadi terbukti bahwa salah satu faktor dari n3 – 1 adalah 1.

𝚃𝚞𝚐𝚊𝚜𝚖𝚝𝚔_𝙳𝚒𝚊𝚗𝚊 𝚘𝚔𝚝𝚊𝚟𝚊𝚗𝚒 𝚇𝙸 𝙸𝙿𝚂 3_𝚜𝚖𝚊𝚗63_#𝚝𝚞𝚐𝚊𝚜